Yazar "Karaca, İsmet" seçeneğine göre listele
Listeleniyor 1 - 20 / 21
Sayfa Başına Sonuç
Sıralama seçenekleri
Öğe Öğe Devirli (Cycle) grafların kohomoloji grupları Üzerine(Ege Üniversitesi, 2016) Fişekci, Seher; Karaca, İsmetHücreler olarak G den H ye tüm graf çokluhomomofizmaları alarak herhangi iki G ve H grafarı bir hücre kompleksi Hom(G, H) ile birleştirebilirsiniz. Bu tez çalışmasında, özellikle graflarda kromatik sayı belirleme problemini ortadan kaldırmak için kullanılacak temel bilgiler ve cebirsel topolojik invaryantları hakkında bilgi verilmektedir. Bu bilgilerden faydalanılarak "Hom(C2r+1, G) k-bağlantılı ise ?(G) ? k + 4 olup r, k ? Z, r ? 1, k ? -1 ve C2r+1 2r +1 köşeli döngüyü göstermektedir." şeklinde ifade edilen Lova?z savının ispatı incelenecektir. İspat, Hom(C2r+1, Kn) kompleksinin analizini gerektirmekle birlikte graf boyamaproblemi n çiftiçin H*(Hom(C2r+1, Kn);Z)yapısı, n tek için Hom(C2r+1,Kn) kompleksinin Stiefel-Whitney karakteristik sınıfları kullanılarak belirlenecektir.;Devirli graflar, Graf boyama, Hom kompleksler, Kohomoloji grupları, Stiefel-Whitney sınıfları, Spektral diziler.;Cycle graphs, Graphs coloring, Hom complexes, Cohomology groups, Stiefel-Whitney classes, Spectral sequences.Öğe Different types of topological complexity based on higher homotopic distance(Elsevier, 2023) İs, Melih; Karaca, İsmetWe first study the higher version of the relative topological complexity by using the homotopic distance. We also introduce the generalized version of the relative topological complexity of a topological pair with respect to both the Schwarz genus and the homotopic distance. With these concepts, we give some inequalities including the topological complexity and the Lusternik-Schnirelmann category, the most important parts of the study of robot motion planning in topology. Later, by defining the parametrized topological complexity via the homotopic distance, we present some estimates on the higher setting of this concept. Finally, we give some important examples of the parametrized topological complexities of fiber bundles with their fibers.& COPY; 2023 Elsevier B.V. All rights reserved.Öğe Dijital görüntülerin genelleştirilmiş topolojik karmaşıklık sayısı(Ege Üniversitesi, 2023) Karaca, İsmet; İs, MelihGenelleştirilmiş topolojik karmaşıklık sayıları hesabının dijital görüntüler üzerinde tüm yönleriyle ele alınması ve topolojik uzaylarda önceden elde edilmiş sonuçların dijital zeminde benzer ve farklı yönlerinin ortaya konması proje çalışmasının temel konusunu oluşturmaktadur. Örneğin, topolojik uzaylarda TC hesabı için kullanılan kohomolojik kap-çarpım metodunun dijital görüntüler üzerinde sonuç vermediği gösterilmiştir. Dijital görüntüler için topolojik grup yapısı oluşturularak dijital genelleştirilmiş topolojik karmaşıklık sayıları için daha kolay bir hesaplama yöntemi dijital Lusternik-Schnirelmann kategorisi kavramı üzerinden sunulmuştur. Bir ve iki boyutlu dijital görüntülerde bazı sonlu dijital uzaylar, (genelleştirilmiş) topolojik karmaşıklık hesabına göre sınıfandırılmıştır. Bir dijital görüntü için dijital topolojik karmaşıklık hesaplama problemi, dijital görüntüler arasında tanımlanan bir fonksiyon için dijital topolojik karmaşıklık hesaplama problemine genişletilmiştir. Ek olarak, bir topolojik uzayın genelleştirilmiş topolojik karmaşıklığını hesaplama problemine en genel çözüm getiren bakış açısı ortaya konmuş ve bir fibrasyon için genelleştirilmiş topolojik karmaşıklık sayısı hesaplama yöntemi topolojik uzaylar üzerinde ortaya konmuştur. Bu durum, dijital görüntülerde yapılan çalışmalardan yola çıkılarak topolojik uzaylarda da sonuçlar elde edilebildiğini göstermesinden ötürü oldukça değerlidir.;Dijital topoloji, genelleştirilmiş topolojik karma şıklık, Lusternik-Schnirelmann kategorisi, Schwarz cins, genelleştirilmiş homotopik uzaklık.;Digital topology, higher topological complexity, Lusternik-Schnirelmann category, Schwarz genus, higher homotopic distance.Öğe Dijital görüntülerin homoloji grupları(Ege Üniversitesi, 2010) Öztel, Ahmet; Karaca, İsmetDigital topology, simplicies, homology groups, euler chracteristic, homotopy groups.;Dijital topoloji, simpleksler, homoloji grupları, homotopi grupları, euler karakteristik.Öğe Dijital görüntülerin steenrod cebir yapısı(Ege Üniversitesi, 2014) Ünver Demir, Emel; Karaca, İsmetBu çalşmada, Steenrod cebiri in³aa edilerek dijital görüntü analizindeki problemlerin çözülmesi amaçlanmştır. Bu kapsamda Hurewicz Teoremi'nin dijital görüntüler üzerinde sağlanmadığı ispatlandı; minimal yapıya sahip bazı dijital görüntülerin simpleksler homoloji ve kohomoloji grupları belirlendi ve kohomoloji gruplarının hesabı için genel bir algoritma verildi. Daha sonra dijital simpleksler üzerinde regülerlik bağıntısı ifade edildi ve bu bağıntı kullanılarak cup çarpımı tanımlandı. Son olarak dijital görüntüler üzerinde Steenrod kare operatörü tanımlanıp, bazı özellikleri incelendi ve Steenrod cebiri tanımlandı.;Digital simplicial homology group, digital simplicial cohomology group, regularity relation, digital cup product, digital Steenrod algebra.;Dijital simpleksler homoloji grubu, dijital simpleksler kohomoloji grubu, regülerlik bağıntısı, dijital cup çarpımı, dijital Steenrod cebiri.Öğe Dijital Khalimsky manifoldları(Ege Üniversitesi, 2017) Temizel, Gökhan; Karaca, İsmetDijital Khalimsky manifoldları, Euclid geometrisindeki şekillerin dijital karşılıklarını belirlerken kullanılan, görüntü işleme ve bilgisayar grafikleri gibi alanlarda önemli bir yere sahip olan yapılardır. Bu çalışmada geometrik ve cebirsel topolojideki araçların dijital karşılıklarından faydalanarak Khalimsky manifoldlarını tanımlamak için var olan olasılıklar incelenecektir. Bu incelemeleri yapabilmek için gerekli olan temel bilgiler sunulacaktır. Khalimsky manifoldlarının farklı ancak küre gibi önemli bir yapıyı tanımlamada yetersiz kalan tanımları tanıtılacaktır. Ek işlemi tanıtılacak ve Khalimsky manifoldlarını tanımlamada kritik rol oynayan yakın komşulukların ve kesişimlerinin analizi bu işlem sayesinde yapılacaktır. Son olarak Khalimsky manifoldlarının tanımı verilerek, reel benzerlerine uygun olarak bir pozitif n sayısı için Zn in içine gömülebileceği ispatlanacaktır.;Khalimsky topolojisi, dijital manifold, ek işlemi, topolojik gömme.;Khalimsky topology, digital manifold, join operator, topological embedding.Öğe Dijital kohomoloji grupları(Ege Üniversitesi, 2013) Burak, Gülseli; Karaca, İsmetBu çalışma dijital görüntülerin simpleksler relatif kohomoloji gruplarını tanımlayarak çeşitli uygulamalarını göstermek amacıyla ele alınmıştır. Öncelikle dijital homotopi, homoloji ve kohomoloji gruplarının tanımları ve bunlarla ilgili uygulamalar verilmiştir. Sonra bunların yardımıyla simpleksler relatif kohomoloji grupları tanımlanmış ve bir dijital görüntünün kohomoloji grubu hesaplanmıştır. Daha sonra dijital görüntüler için cup çarpımı tanımlanarak bununla ilgili özellikler ifade edilmiştir. Bunun sonucu olarak dijital kohomoloji üzerinde halka yapısının olduğu belirlenmiştir. Ayrıca dijital görüntülerin kohomoloji halkasının hesaplanması için bir method belirlenmiş ve dijital kohomoloji halkasının belirlenmesiyle ilgili çeşitli örnekler verilmiştir.;Digital simplicial homology group, digital simplicial cohomology group, digital cup product,digital cohomology ring.;Dijital simpleksler homoloji grupları, dijital simpleksler kohomoloji grupları, dijital cup çarpımı, dijital kohomoloji halkası.Öğe Dijital topolojide küme değerli fonksiyonlar(Ege Üniversitesi, 2020) Karaca, İsmet; Çınar, İsmetBu tez çalışmasında, iki dijital yüzeyin bağlantılı toplamı ve dijital basit kapalı yüzeyler inşa edildi. Bu yüzeylerin dijital simpleksler homoloji grupları belirlendi. Bazı dijital bağlantılı toplam yüzeylerinin Euler karakteristiği hesaplandı ve bu dijital yüzeyler ile ilgili bazı özellikler ifade edildi. Tezin dördüncü bölümünde, dijital görüntüler için simeş çarpım tanıtıldı. Bu operatörün birleşmeli, dağılmalı ve değişmeli olduğu gösterildi. Bu operatör yardımıyla bir dijital görüntünün dijital süspansiyonu ve dijital koni uzayları tanımlandı. Beşinci bölümde, Khalimsky topolojisi ile donatılmış dijital uzayların singüler kohomoloji grupları incelendi. Bu kohomoloji teorisi için Eilenberg-Steenrod aksiyomları, evrensel katsayı teoremi ve Künneth formülü araştırıldı. Khalimsky topolojisi üzerinde cup çarpım inşa edildi ve bu operatörün bazı özellikleri verildi. Tezin son bölümünde, dijital küme değerli fonksiyonlar arasında yaklaşık sabit nokta özelliği tanımlandı. Evrensel dijital küme değerli fonksiyon kavramı ifade edildi. Simeş çarpımın bazı özellikleri tanıtıldı. Son olarak bazı morfolojik operatörlerin güçlü ve zayıf sürekliliğe sahip olduğu gösterildi.;Dijital bağlantılı toplam, Euler karakteristiği, dijital simeş çarpım, küme değerli fonksiyon, güçlü-zayıf süreklilik, morfolojik operatör.;Digital connected sum, Euler characteristics, digital smash product, multivalued function, strong-weak continuity, morphological operator.Öğe Dual steenrod cebirinin konjugasyon invaryantları üzerine(Ege Üniversitesi, 2013) Erden Ege, Meltem; Karaca, İsmetCanonical conjugation, canonical anti-automorphism, steenrod algebra, dual steenrod algebra.;Kanonik konjugasyon, kanonik anti-otomorfizma, steenrod cebiri, dual steenrod cebiri.Öğe Düğümlerin A-Polinomu(Ege Üniversitesi, 2018) Karaca, İsmetDüğüm teorisi, geometrik topolojinin önemli araştırma konularından biridir. Düğüm Teorisi için sınıflandırma problemi ise son yılların en popüler problemlerinden bir haline gelmiştir. Biz de bu çalışma ile düğüm değişmezlerinden biri olan polinomlardan A-Polinomu ele aldık. A-Polinomunun hesaplanması için düğüm grubu hesaplamayı ve hesaplanmanın daha kolay olması için Wirtinger gösterimini inceledik. Örneklendirme açısından ise en son kısımda Yonca Yaprağının A-Polinomu hesaplandık. İkiz düğümlerin A-Polinomları için de birer formül verip, ispatını yaptık.;Düğüm, Link, Meridyen, Uzunluk, Düğüm Grubu, İkiz Düğüm.;Knot, Link, Meridian, Longtidue, Knot Group, Twist Knot.Öğe Eşlenen (matching) grafların homoloji gruplarının belirlenmesi(Ege Üniversitesi, 2015) Çınar, İsmet; Karaca, İsmetGraf simpleksler kompleksi üzerinde birçok problem vardır. Bunlardan bir tanesi, eşlenen(matching) graf kompleksin indirgenmiş homoloji gruplarının hesaplanmasıdır. 12. boyuttan sonrası homoloji grupları bilinmemektedir. Bu çalışmanın amacı, konu ile ilgili problemi ifade etmek ve problemi çözebilmek için gerekli bilgileri vermektir. Bu proje çalışmasında ilk olarak eşlenen graf kompleks yapısından bahsedilmektedir. Homoloji grubunun nasıl oluşturulduğu anlatılmaktadır. Bir sonraki bölümde, homoloji gruplarının hesaplanmasında kullanılan yapılar tanıtıldı, örneğin Young Tablosu, Specht modül ve çengel formülü. Specht modül boyutu ile eşlenen graf kompleks yapının boyutu arasındaki bağlantı verildi. Ayrıca 3-burulma gruplarına sahip eşlenen graf kompleks homoloji grupları anlatıldı. Jonsson'nın eşlenen kompleks homoloji grupları ile ilgili çalışmaları detaylı olarak ele alındı. Son olarak konu ile ilgili açık problemler verildi.;Simpleksler kompleksi, Homoloji grupları, Young diyagram, Specht modül.;Simplicial complex, homology groups, Young diagram, Specht module.Öğe Karakteristik sınıfları(Ege Üniversitesi, 2012) Kocaayan, Hicran; Karaca, İsmetBir karakteristik sınıf, bir X topolojik uzayı üzerindeki vektör demetlerine X in bir kohomoloji sınıfını eşlemenin bir yoludur. Karakteristik sınıfları, kohomoloji teorisinin kontravaryant bir yapısıdır. Kohomoloji teorisi bir uzaydaki dönüşümlere dayanan ve kovaryant teoriler olan homoloji ve homotopi teoriden sonra bulunmuştur. Karakteristik sınıflar teorisi 1930 larda doğmuştur. Bunun nedeni homolojiye dual bir teori aranmasıdır. Karakteristik sınıflar kohomoloji gruplarının elemanlarıdır; karakteristik sınıflardan elde edilen tamsayılara karakteristik sayılar denir. Karakteristik sayılar yönlendirilmiş ve yönlendirilmemiş bordizm problemlerini çözer. Genel bordizm problemi, çeşitli koşullarda manifoldların kobordizm sınıflarını hesaplamaktadır. Kobordizm; bir manifoldun sınırı kavramını kullanarak kurulan aynı boyutlu kompakt manifoldlar üzerindeki bir denklik bağıntısıdır. Karakteristik sınıfları aracılığıyla manifoldların kobordant olma bağıntısına göre denklik sınıfları belirlenmektedir. Bu tez çalışmasında temel karakteristik sınıfları (Stiefel-Whitney, Euler, Chern ve Pontrjagin karakteristik sınıfları) hakkında genel bir bilgi verilmektedir. Bazı özel uzayların karakteristik sınıfları ve karakteristik sayıları incelenecektir.;Vector bundles, Stiefel-Whitney classes, Euler classes, Chern classes, Pontrjagin classes, Grassmann manifolds.;Vektör Demetleri, Stiefel-Whitney sınıfları, Euler sınıfları, Chern sınıfları, Pontrjagin sınıfları, Grassmann manifoldları.Öğe Kararlı homotopi grupları(Ege Üniversitesi, 2012) Kaya, Elif Tuğçe; Karaca, İsmetMatematikte çözülmemiş problemlerden biri, aşikar olmayan bir CW-kompleks X için s*(X) homotopi gruplarının belirlenmesidir. Bu gruplar bazı geometrik problemlerin çözümünde ve CW-komplekslerin homotopiye bağlı sınıflandırılmasında anahtar rol oynar. s*(X) e ilk yaklaşım Freudenthal süspansiyon teoremi ile olmuştur. Kararlı (stable) homotopi teorisi 1937 yılı sıralarında bu teoremle başlamıştır. Adams'ın adını alan spektral dizsinin tanıtılması ve Hopf invaryant 1 probleminin çözümündeki kararlılık fenomeninin çarpıcı kullanımıyla cebirsel topolojinin farklı bir dalı olarak belirmiştir. Bu alandaki ana problem kürenin kararlı homotopi gruplarının belirlenmesidir. Kararlı köklerin (stems) aşikar olmayan ilk elemanları Heinz Hopf'un inşa ettiği dönüşümler j: S3{602}S2, p: S7{602}S4 ve v: S15{602}S8 tarafından belirlenmiştir. Bugün biz sadece k = 1000 e kadar kararlı k-kök (k-stem) jSk leri biliyoruz. Bu hala bir açık problemdir. Bu çalışmada kararlı homotopi grupları ve Adams spektral dizisi hakkında bilgi vererek kararlı köklerin bu spektral dizi ile hesaplanmasından bahsedeceğiz. Son olarak bu konu ile ilgili açık problemleri sunacağız.;Spectra, Stable Homotopy Category, Adams Spectral Sequence, Stable Homotopy Groups of Spheres.;Spektra, Kararlı Homotopi Kategorisi, Adams Spektral Dizisi, Kürenin Kararlı Homotopi Grupları.Öğe Kararlı homotopi teorisinde ARF invaryantı(Ege Üniversitesi, 2012) Yiğit, Uğur; Karaca, İsmetArf-Kervaire invaryant 1 olan düzgün çatılı (framed) manifoldun varlığı cebirsel topolojide çözülmemiş en eski problemlerden biridir. Bu invaryantın tarihinin Pontryagin'in 1930'lardaki çalışmalarıyla başladığı düşünülebilir. Pontryagin düzgün manifoldları kullanarak kürenin homotopi gruplarını hesaplamak için araç olarak Çatılı Kobordizmi oluşturdu. 1960'da Kervaire neredeyse tüm çatılı (4k + 2)-manifoldlar (k - 0; 1; 3) için bir invaryant tanımladı ve bu invaryantını çatılı düzgün 10-manifoldlar için sıfır olduğunu gösterdi. Bu invaryant Browder tarafından (Browder, 1969) makalesinde homotopi gruplarıyla ilişkilendirilmiştir. Burada Arf-Kervaire invaryantı aşikar olmayan düzgün çatılı manifoldların sadece 2j+1 - 2 formundaki boyutlarda var olduğunu ve o boyutta böyle bir manifoldun var olması için gerek ve yeter şartın klasik Adams spektral dizisi üzerinde E2 terimi h2j ? Ext2;2j+1 A (Z=2; Z=2) sınıfının kürenin kararlı homotopi grupları üuzerinde kj ? s 2j+1-2S0 elemanın temsil etmesi gerektiğini Browder gösterdi. j{600} 5 için j sınıfının var olduğu Barratt-Mahowald, ve Barratt-Jones-Mahowald tarafından gösterildi. Hill, Hopkins, ve Ravenel (Hill et al., 2009) j{601}7 için kj Arf-Kervaire elemanlarının olmadığını gösterdiler. j = 6 durumu hala açık problemdir. Bu tezde Arf-Kervaire invaryantının tarihsel gelişimi hakkında bilgi vereceğiz ve bu invaryant hakkında Hill, Hopkins, ve Ravenel (Hill et al., 2009) in yapmış oldukları ispattan doğan açık problemleri ele alacağız.;Kürenin kararlı homotopi grupları, Arf-Kervaire invaryant , Çatılı kobordizm, EHP dizileri, Hopf invaryant, Equivaryant homotopi.;Stable homotopy groups of spheres, The Arf-Kervaire invariant, EHP sequences, Framed cobordism, Hopf invaryant, Equivariant homotopy.Öğe Konfigürasyon uzayı üzerine(Ege Üniversitesi, 2016) İs, Melih; Karaca, İsmetBu çalışma, cebirsel topoloji araçlarının robotikler içinde kullanılması üzerinedir. Örneğin topolojik karmaşıklık sayısı için bir alt sınır hesaplanmasında bir kohomoloji operasyonu olan kap çarpım kullanılacaktır. Yani X in kohomoloji cebirinden yararlanılacaktır. Peki TC(X) sayısının alt sınır hesabı için kap çarpımdan daha farklı kohomoloji operasyonlarından yararlanmak istenirse ne yapılabilir? Bu sorunun cevabı için içine kap çarpımı da alan kohomoloji operasyonları üzerine daha genel bir hesap yöntemi geliştirmek gereklidir. Bu çalışmada M. Grant ve M. Farber'ın TC(X) sayısının alt sınır hesaplanışını genel durumda kesinleştirmek için kohomoloji operasyonlarını nasıl kullandığı gösterilecektir. Bu tekniğin geliştirilmesinde E. Fadell ve S. Husseini'nin Lusternik-Schnirelmann kategorisi için klasik alt sınır içinde bulunan kohomolojinin ağırlıkları üzerine yaptıkları çalışmalardan esinlenilmiştir. Ayrıca bu tekniğin ifade edildikten sonraki ilk uygulamalarından biri de Lens uzayları üzerine olmuştur.;Konfigürasyon uzayı, Kohomoloji operasyonları, Topolojik karmaşıklık sayısı, Schwarz cinsi.;Configuration space, cohomology operations, Topological complexity number, Schwarz genus.Öğe Persistence yaklaşımında homoloji dizileri ve teoremleri(Ege Üniversitesi, 2021) Karaca, İsmet; Kayaslan, HamdiTopoloji, cebirle birleştiğinde, uzayları incelemek ve sınıflandırmak için çok sayıda metoda sahip olduğumuz Cebirsel Topoloji adı verilen geniş bir çalışma alanı oluşturur. Kullandığımız metotlara homotopi, homoloji ve kohomoloji örnekleri verilebilir. Bu metotları kullanarak uzaylar hakkında bilgiler elde eder ve sınıflandırmamızı bunlara göre yaparız. Bazı durumlarda ise, bir uzay hakkında yalnızca sınırlı bilgiye sahip olabiliriz, örneğin bu uzaydan örneklenen bir nokta kümesi gibi, ancak yine de uzayın gerçekte nasıl göründüğünü, bağlantılılığını veya sahip olduğu boşluk sayısı gibi özelliklerini bilmek isteyebiliriz. Persistence yaklaşımı sayesinde yukarıda bahsettiğimiz metotları yalnızca uzayları karşılaştırmak için değil, aynı zamanda bir uzay hakkında önemli bilgilere sahip olmak için de kullanabiliriz. Bunu, öncelikle elimizdeki sınırlı veri üzerinde bir yapı kurarak ve ardından bu yapı üzerinde bilinen cebirsel topoloji metotlarını uygulayarak yaparız. Bu tez çalışmasında inceleyeceğimiz metot homolojidir. Homoloji, nispeten karmaşık hesaplamaları basitleştirebilmek için tam diziler gibi yapılara ve teoremlere sahiptir. Persistence yaklaşımına sadece homoloji metodunun değil, aynı zamanda homolojiye dayanan tam dizilerin ve teoremlerin nasıl uygulandığını inceleyeceğiz.;Persistent homoloji, barkod, simpleksler, nokta bulutu veri.;Persistent homology, barcode, simplicies, point cloud data.Öğe Steenrod cebirinde bazlar üzerine(Ege Üniversitesi, 2003) Tanay, Bekir; Karaca, İsmet[Abstract Not Available]Öğe Steenrod cebirinde nilpotentlik(Ege Üniversitesi, 2014) Ege, Özgür; Karaca, İsmetCebirsel topoloji, topolojideki problemlerin funktorlar yardımıyla cebirsel yapılara taşındığı ve çözümlendiği bir çalışma alanıdır. Bu alandaki en önemli kavramlardan biri, özel kohomoloji operasyonları tarafından üretilen Steenrod cebiridir. Steenrod cebiri, S^n nin homotopi gruplarının belirlenmesi ve Hopf invaryantı 1 olan dönüşümlerin bulunması gibi çeşitli problemlerin çözümünde temel bir araç olmuştur. Steenrod cebirinde birçok önemli açık problem mevcuttur. Nilpotentlik bunlardan biri olup, Steenrod cebirinin elemanlarının nilpotent yüksekliklerinin hesaplama problemlerinden oluşur. Maple paket programı sayesinde Steenrod cebir elemanlarının nilpotent yükseklikleri hesaplanabilmekte ve elde edilen sonuçlara göre konjektürler ortaya koyularak ispatlar yapılmaktadır. Bu tez çalışmasında mod p Adem bağıntılarından yararlanılarak mod p Steenrod cebirinin sağ ve sol ideallerinin bir sınıfı belirlenmiştir. Literatürde Sq^{2^m(2^n-1)} atomik Steenrod karesinin her m ve n değeri için nilpotent yüksekliği mevcut değildir. Bu nedenle, Sq^{2^m(2^n-1)} atomik Steenrod karesinin özel durumlarına dair nilpotentlik hesaplamaları yapılmış ve genel durum üzerine bir konjektür verilmiştir. Ayrıca mod p Steenrod cebirinde P^{2p} ve P^{2p+1} elemanlarının nilpotent yüksekliği hesaplamaları yapılarak önemli sonuçlar elde edilmiştir. Son olarak, nilpotentlikle ile ilgili açık problemlere değinilmiştir.;Nilpotence, Steenrod algebra, Steenrod square operation, Steenrod power operation.;Nilpotentlik, Steenrod cebiri, Steenrod kare operatörü, Steenrod kuvvet operatörü.Öğe Steenrod cebirine ait operatörlerin nilpotenliği ile ilgili bazı formüller(Ege Üniversitesi, 2005) Karaca, İsmet; Karaca, İsmetSteenrod cebiri ile ilgili çalışmalar, Norman Steenrod'un Z2 katsayılı kohomoloji teori üzerindeki kararlı kohomoloji operasyonlarının hareketini inşaa ederken özel bir kohomoloji operasyonuna ihtiyaç duyulması ile başlamıştır. Steenrod'un kare operasyonu olarak adlandırdığı bu özel operasyonları : ( ; ) ( ; ) H X Z2 H X Z2 Sqn k {602} k +n şeklinde tanımlamıştır. Cebirsel Topolojiye ait bazı problemleri (Bir topolojik uzayın homotopy gruplarının hesaplanması, n-küre üzerinde lineer bağımsız vector alanlarının belirlenmesi, Hopf invaryant dönüşümlerinin inşası) çözmede Steenrod operasyonlarını kullanırız. Bu operasyonların bileşkeleri yardımıyla topolojik uzayların Z2 kohomoloji grupları üzerine hareket eden operasyonların cebiri, yani Steenrod cebiri elde edilmiştir. Bu cebir yapısı Adem, Cartan, ve Serre tarafından detaylı olarak açıklanmıştır. Özellikle n Sq kare operasyolarının Adem bağıntıları olarak bilinen; 0 < i < j için i j k k i k i j Sq Sq i k j k Sq Sq + = - = 2 0 2 1 bağıntısına göre Mod-2 Steenrod cebirinin bölüm tensor cebiri olduğu gösterilmiştir. Milnor bu cebirin ko-komutatif hopf cebir yapısına sahip olduğunu göstermiştir. Dolasıyla bu cebirin duali de komütatif cebir olacaktır. Steenrod cebirine ait elemanlarının nilpotentliğini belirleme problemi son yıllarda ilgi çekmiştir. n Sq elemanın nilpotentliği 2n+2 olduğu 1975 yılında Steve Wilson tarafından konjektüre edilmiştir. Daha sonra Donald M. Davis, bilgiayar hesaplamalarıyla bu conjektürü doğrulamıştır. Bu konjekture Walker ve Wood tarafından 1995 yılında ispatlanmıştır. Daha sonra sonuçlarını genelleştirmişlerdir. Ken Monks s Pt Milnor elemanın nilpotentliğini p=2 için belirlemiştir. 1996 yılında Ismet Karaca, Monks'a ait sonucu tüm tek asal sayılar için tayin etmiştir. Bu araştırmada [4] de tanımlanan Star işlemini kullanarak Steernrod operasyonlarının nilpotentliği ile ilgili formuller elde ettik.
