Diferansiyel denklemlerin zaman ayrıklaştırması ile sayısal çözümleri üzerine
Yükleniyor...
Tarih
2016
Yazarlar
Dergi Başlığı
Dergi ISSN
Cilt Başlığı
Yayıncı
Ege üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü
Erişim Hakkı
info:eu-repo/semantics/openAccess
Özet
Bu doktora tezinde, y'=f(y) formundaki adi diferansiyel denklemlerin sayısal integrasyonu için tek ve iki adımlı yöntemlere dayalı algoritmalar verilmiştir. Klasik Runge-Kutta yöntemleri bu formdaki problemlerin sayısal çözümü için yaygın olarak kullanılan tek adımlı yöntemlerdir. Son zamanlarda bu yöntemlerin mertebe ve hassasiyetinin arttırılması için çalışmalar yapılmıştır. Bu çalışmalardan bir kısmı, çözümlerin yüksek mertebe türev terimlerini içeren yaklaşımlarından oluşmaktadır. Bu düşünce doğrultusunda tek-adımlı yöntemlere dayalı algoritma için çözümün ikinci ve üçüncü türevlerini içeren üç-türevli (three-derivative) Runge-Kutta yöntemleri verilmiştir. İki-adımlı yöntemlere dayalı algoritma için ise iki-adımlı (two-step) Runge-Kutta yöntemleri çözümün ikinci türevini içeren iki-türevli iki-adımlı (two-derivative two-step) Runge-Kutta yöntemlerine genişletilmiştir. Her iki yöntemin mertebe koşulları için Butcher'ın cebirsel teorisi ve Hairer ve Wanner 'in β-serileri teorisi temel alınarak Chan ve Chan'ın yaklaşımı bu çalışmada takip edilmiştir. Daha sonra yöntemlerin kararlılık analizi yapılmıştır. Bu yöntemlerin performansını test etmek için bazı standart problemler üzerinde uygulamaları verilmiş ve literatürdeki diğer yöntemlerle karşılaştırılmıştır.
In this thesis, algorithms based on one- and two-step methods have been given for the numerical integration of ordinary differential equations in the form of y'=f(y). Classical Runge-Kutta methods are one-step methods used commonly for the numerical solution of problems in this form. Recently, studies have been done to improve the accuracy and order of these methods. A part of these studies consists of the approaches including higher order derivatives of the solution. In line with this purpose, three-derivative Runge-Kutta methods including the second and third derivatives of the solution have been given for algorithms based on one-step methods. In case of algorithms based on two-step methods, two-step Runge-Kutta methods have been extended to two-derivative two-step Runge-Kutta methods including the second derivative of the solution. In this study, Chan and Chan's approach has been followed which based on the algebraic theory of Butcher and the β-series theory of Hairer and Wanner for order conditions of both methods. Later, the stability analysis of the methods has been done. Some standard test problems have been tested for the performance of these methods and made comparisons with the methods in the literature.
In this thesis, algorithms based on one- and two-step methods have been given for the numerical integration of ordinary differential equations in the form of y'=f(y). Classical Runge-Kutta methods are one-step methods used commonly for the numerical solution of problems in this form. Recently, studies have been done to improve the accuracy and order of these methods. A part of these studies consists of the approaches including higher order derivatives of the solution. In line with this purpose, three-derivative Runge-Kutta methods including the second and third derivatives of the solution have been given for algorithms based on one-step methods. In case of algorithms based on two-step methods, two-step Runge-Kutta methods have been extended to two-derivative two-step Runge-Kutta methods including the second derivative of the solution. In this study, Chan and Chan's approach has been followed which based on the algebraic theory of Butcher and the β-series theory of Hairer and Wanner for order conditions of both methods. Later, the stability analysis of the methods has been done. Some standard test problems have been tested for the performance of these methods and made comparisons with the methods in the literature.
Açıklama
Anahtar Kelimeler
İki-türevli Runge-kutta yöntemleri, Çok-türevli Runge-kutta yöntemleri, İki-adımlı Runge-kutta yöntemleri, Mertebe Koşulları, Köklü Ağaçlar, Kararlılık Bölgeleri, Two-derivative Runge-kutta methods, Multiderivative Runge-kutta methods, Two-step Runge-kutta methods, Order Conditions, Rooted Trees, Stability Regions
