Aritmetiğin nonstandart modelleri üzerine

ÖZET Bu tezde ; Peano Aritmetiğinin (PA) aksiyomlarını gerçekleyen ve N standard modeline izomorf olmayan nonstandard modellerin yapısı ayrıntılı olarak anlatılmış ve bugüne kadar yapılan çalışmaların bir özeti verilmiştir. N ile her nonstandard model arasında bazı ilginç modellerin ( başlangıç segmanlannın ) olduğu ifade edilerek bunlardan a"*, exp ( Itf, a ) ve a''T örneklen sunulmuştur ; bu segmanların PA yi gerçekleyecek güçte olmadıkları kanıtlanmış ve a''*" hakkında [9] da sorulan sorular yanıtlanmıştır. Sonra Z tamsayılar halkasının dilinde yazılan birinci mertebe önermelerin T kümesinin nonstandard modellerinin toplamsal grup yapısı araştırılarak her Z* nonstandard modelinin toplamsal grubunun F(, Z ile A izomorf olduğu gösterilmiştir ; burada F, Q üzerinde bir vektör uzayı, Z tüm A sonlu devri grupların ters limiti ve [3 : F - > Z dönüşümüdür. Son olarak lineer mod 1, quasi - lineer, toplam fonksiyonlarının kümelerini ilgilendiren ve [21] de sorulan bir açık probleme bir çözüm bulunmuştur. SUMMARY In this thesis ; the structure of nonstandard models which satisfy PA' s axioms and are not isomorphic to the standard model N is explained in detail, and a summary of all works done until day is given. Expressing the fact that interesting models ( i. e, initial segments ) may exist between N and any nonstandard model, three of them ( such a*", exp ( I\l, a), a'/"') are introduced ; it is proved that those segments are not strong enough to satisfy PA and further some questions concerning a''*" ( see [9] ) are solved. Investigating the additive group structure of the set T of sentences writeen in the first order language of the ring Z of integers it is shown that the additive group of every nonstandard model Z* of T A is isomorphic to F,, Z where F is a vector space over Q, Z is the inverse limit A of all finite cyclic groups and p is defined from F to Z Finally, a solution is given to the open problem ( see [2 1 ] ) which bears on the sets of linear mod 1, quasi - linear and addition functions. 40

ÖZET Bu tezde ; Peano Aritmetiğinin (PA) aksiyomlarını gerçekleyen ve N standard modeline izomorf olmayan nonstandard modellerin yapısı ayrıntılı olarak anlatılmış ve bugüne kadar yapılan çalışmaların bir özeti verilmiştir. N ile her nonstandard model arasında bazı ilginç modellerin ( başlangıç segmanlannın ) olduğu ifade edilerek bunlardan a"*, exp ( Itf, a ) ve a''T örneklen sunulmuştur ; bu segmanların PA yi gerçekleyecek güçte olmadıkları kanıtlanmış ve a''*" hakkında [9] da sorulan sorular yanıtlanmıştır. Sonra Z tamsayılar halkasının dilinde yazılan birinci mertebe önermelerin T kümesinin nonstandard modellerinin toplamsal grup yapısı araştırılarak her Z* nonstandard modelinin toplamsal grubunun F(, Z ile A izomorf olduğu gösterilmiştir ; burada F, Q üzerinde bir vektör uzayı, Z tüm A sonlu devri grupların ters limiti ve [3 : F - > Z dönüşümüdür. Son olarak lineer mod 1, quasi - lineer, toplam fonksiyonlarının kümelerini ilgilendiren ve [21] de sorulan bir açık probleme bir çözüm bulunmuştur. SUMMARY In this thesis ; the structure of nonstandard models which satisfy PA' s axioms and are not isomorphic to the standard model N is explained in detail, and a summary of all works done until day is given. Expressing the fact that interesting models ( i. e, initial segments ) may exist between N and any nonstandard model, three of them ( such a*", exp ( I\l, a), a'/"') are introduced ; it is proved that those segments are not strong enough to satisfy PA and further some questions concerning a''*" ( see [9] ) are solved. Investigating the additive group structure of the set T of sentences writeen in the first order language of the ring Z of integers it is shown that the additive group of every nonstandard model Z* of T A is isomorphic to F,, Z where F is a vector space over Q, Z is the inverse limit A of all finite cyclic groups and p is defined from F to Z Finally, a solution is given to the open problem ( see [2 1 ] ) which bears on the sets of linear mod 1, quasi - linear and addition functions. 40